François Bayrou, vainqueur à la Condorcet, et le théorème de l'électeur médian

Dans les élections présidentielles 2007, François Bayrou serait vainqueur à la Condorcet. Je m'en suis bêtement aperçu en regardant une animation Flash du site du Monde qui récapitule les différents résultats de sondage (voir par exemple le 2^nd tour des sondages IPSOS, TNS Sofres, ou BVA).

Qu'est-ce que signifie vainqueur à la Condorcet ? C'est un terme de jargon qu'utilisent les théoriciens du vote. Un candidat est vainqueur à la Condorcet s'il bat tous les candidats un à un en duel. Ainsi, les différents sondages s'accordent sur un point : si Bayrou passe au second tour des présidentielles, il est sûr d'être élu. En effet, en supposant que seul Sarkozy, Royal et Le Pen sont susceptibles de s'y trouver face à Bayrou :

• Bayrou l'emporte contre Sarkozy, même si ça peut être assez serré ;
• il l'emporte contre Royal haut la main ;
• on peut supposer qu'il l'emporterait facilement contre Le Pen, même si les sondages ne disent rien à ce sujet.

Tout ceci en admettant bien sûr que les intentions de vote ne changent pas, et que les personnes votent effectivement comme les sondages le prédisent.

Ceci n'est pas vraiment surprenant. Instinctivement, on comprend que si Bayrou est face à Sarkozy au second tour, les supporteurs de Ségolène Royal et de toute la gauche reporteront massivement leurs voix sur Bayrou plutôt que sur Sarkozy. Inversement, si Royal et Bayrou sont au second tour, les sarkozytes reporteront leurs voix sur Bayrou plutôt que sur Royal. En somme au second tour, les déçus du premier tour doivent choisir un moindre mal. Nul doute que pour les socialistes, Bayrou est « moins pire » que Sarkozy.

Ce type de raisonnement s'appelle, dans le jargon de la théorie du vote, le théorème de l'électeur médian. Si l'on représente la vie politique sur un axe, par exemple l'axe gauche-droite, on placera sur cet axe les candidats dans l'ordre Royal, Bayrou, Sarkozy. Supposons par ailleurs que chaque électeur a un point favori sur cet axe (point qui ne coïncide pas nécessairement avec les candidats existants). Ce point dépend de l'idéologie de l'électeur. (Par exemple, on imagine aisément qu'un ouvrier aura son point favori plutôt sur la gauche de l'axe, tandis qu'un jeune HEC aura plutôt son point favori sur la droite.) Vous comprenez l'idée. Un candidat qui est juste au milieu du spectre a, dans notre petit exercice, la moitié des électeurs à sa gauche et l'autre moitié à sa droite.

Maintenant, imaginons que chaque électeur, qui n'est pas fou, vote pour le candidat le moins pire, c'est-à-dire le candidat positionné le plus près possible de son point favori.

Supposons que notre candidat du milieu soit opposé en duel à un autre candidat plus à droite. Pour un électeur de gauche, le candidat du milieu est plus proche de son point favori que ne l'est le candidat de droite. Ainsi, toutes les personnes dont le point favori est à gauche de l'électeur centriste vont voter pour lui, plutôt que pour le candidat de droite. Le candidat centriste s'assure donc la moitié des électeurs. À tous ces électeurs s'ajoutent les électeurs dont le point favori est entre les deux candidats, mais plus proche du candidat centriste. En somme le candidat centriste est sûr de gagner face à un candidat de droite. Le résultat se reproduit à l'identique si l'on oppose le candidat centriste à un candidat de gauche, puisqu'il recevra tous les votes des électeurs de droite.

Le théorème de l'électeur médian nous dit que dans ce genre de situation, un candidat situé pile au point favori de l'électeur médian, c'est-à-dire situé pile au milieu du spectre des électeurs, est vainqueur à la Condorcet, c'est-à-dire qu'il ne peut être battu en duel par aucun autre candidat.

Ce résultat est des résultats les plus populaires de la théorie du vote. Il repose sur trois hypothèses qui ne vont pas toujours de soi :

1. la possibilité de représenter la vie politique sur un axe unidimensionnel (en général gauche-droite),
2. la compétition entre deux candidats seulement,
3. le fait que les électeurs votent pour le candidat le moins éloigné de leur point favori.

Même si la réalité est bien plus complexe que cela, toutes approximations mises à part, ce résultat se vérifie dans la réalité des sondages ! Bayrou occupe, à peu de choses près, la position d'un candidat médian, et se retrouve en position de vainqueur de Condorcet.

Évidemment, le plus gros problème de Bayrou, c'est d'atteindre le second tour. L'élection majoritaire à deux tours, comme on la pratique en France pour les présidentielles, est un système tel que même si un vainqueur à la Condorcet existe, il peut très bien perdre les élections (car il n'aura pas atteint le second tour).

C'est un point que j'avais soulevé dans mon mémoire de master sur les paradoxes de vote [PDF, 530 Ko]. À la question de savoir si c'est regrettable, j'ai depuis modéré mon avis ; est-ce acceptable qu'un système électoral n'élise pas systématiquement un vainqueur à la Condorcet ? A priori, non, car un vainqueur à la Condorcet semble être un candidat de rêve. En réalité, il ne faut pas oublier qu'il s'agit largement d'une construction théorique. Un candidat n'est jamais seul face à un autre. En France du moins, il doit toujours faire face à une multitude d'autres candidats. À mes yeux, ceci tend à rendre moins crucial le critère du vainqueur à la Condorcet.

Je voudrais simplement terminer par une question bête : si le théorème de l'électeur médian se vérifie, pourquoi les candidats ne choisissent-ils pas tous un programme centriste, proche de l'électeur médian ? Mais enfin chérie, c'est toujours ce qui arrive… au second tour. Les candidats tentent alors de « rassembler », comme le dit la science politique poussiéreuse. C'est une autre façon de dire que les candidats accourent vers le milieu.

Au premier tour, c'est plus compliqué.